My kind of celebrity

„It is really hard to mathematical teachers today.“

„You just have to think. Everything else have WolphramAlpha.“

My first encounter with Stanford mathematician Keith Devlin was in 2013 at Moodle MOOC Introduction to Mathematical Thinking. It was great online course and I was so proud of having attended a course at Stanford (even online). Later I read some of his books, listen to his radio show. I liked one with Danica McKellar , wrote article about her and hope that she also some day visit Serbia to promote mathematics. When I heard that  Keith Devlin visit Serbia 26.2.-1.3.2018. (Beograd, Kragujevac, Novi Sad) and hold several lectures I knew that I had to attend at least one lecture. And of course have a picture with such celebrity. 

This is article about Keith Devlin lectures at Department for mathematics Novi Sad and Center for Science Promotion (CPN) Beograd for all those who did not have the pleasure of personally attending. Lecture from CPN you can view in Serbian on their facebook page.

Here you can find so many useful, interesting, update information which you can transform to knowledge.

Mathematics in the XXI century – CPN Beograd

All I learned during my lifetime in mathematics how to do  is now on this device (smart phone). During my lifetime I struggle with equations with four variables. This device has no problem with hundreds of them and in a fraction of second will give you exact answer. And not just arithmetics. All mathemematics now free on cloud. But I am not gone out of work. We still need lot of mathematicians. But we don’t do what we used to do. The way mathematics is done is totally different from the way used to be done. Children now gonna live in the world where the perspective of mathematics is totally changed.

How mathematics help us understand the world and do things in the world.

From the point view of people this change in mathematics is good. Mathematics used to be restricted to small number of people now how to do calculations. Now almost everyone can do mathematics in that way. Teachers have a lot of problems around the world adapting to tis new way of teaching.

Trough our history mathematics is developed to solved real world problems. Geometry for measuring land. Nil delta flood every year. Trigonometry for navigation etc. You begin with some real world situation. Suppose you want to bild a house. You have some ideas and then you go to the architect. Then architect will described your idea in his (differnet) language. Than someone draw the plans (blueprint), which are eventually mathematical description. Now one can do all mathematical calculations in advance. When you do the estimations you hire the crew to bild a house. You go back to real world. And this is the way how we apply mathematics.

In this case it is not surprising that we use mathematics. But what if you start to use mathematics to study people.


You can tell where are things gonna be in physics. In case of crimes you can’t exactly but you can increase chances to find the criminal. And vast majority applications of mathematics today outside universities is not about finding exact answers. Real world almost never have exact answers. It is about finding better answers, better solutions, more efficient solutions.



The most interesting part were mathematics is powerful is not the shapes you can see but invisible shapes. So triangles are good, they fun, really good to begin with mathematics. And this is where mathematics become very powerful. It reveals invisible patterns.You can represent the pattern even though they are invisible. I wrote the book: The language of mathematics – Making invisible visible.


Procedures were main focus in mathematics for thousand years. There were a good reason why is that was math education about. Today math teachers have more difficult assignment than ever.

Today is shortage of mathematician who are able to solve the real world problems.

It is really hard to mathematical teachers today.

**** Exceptionality

I will give you example of sport team using this method won championship.

You measure 200 things and practicly everybody  (92,84%) on the planet is exceptional.

Our intuition about geometry a hopeless. What this means. If you have a solid box full of staff most of the staff is in the middle. With three dimensional solid box most of the staff is in the middle. With 200 dimensional box almost everything is outside and the midle is empty. The middle of solid box is empty. Solid but it is almost empty.

Oakland As 2002, 2003 baseball team coach Bill Beane hired mathematician Paul DePodesta. He build a team where no one was exceptional. These were players who all other team ignore. He found players who exceptional in this range of characteristics. Within one year they won national competition. In the movie Brad Pitt is coach.

This works. This means that no one group of people, country need to be at bottom. You can use relatively simple mathematics to identify suite of parameters in wich are people you have in front of you are exceptional. And find the way to use those abilities and fit them into the world. That is hopeful. It is also tell us how our society is structured. We are measuring exceptionality according to a very narrow definition. But in today’s world in particularly being exceptional in range of things is much more important than being exceptional in one thing. Cause if you need someone exceptional in one thing you can hire consultant. This is mathematical result. So it is true.

When precision of mathematics meets the mesines od real world

Departman za matematiku Novi Sad

Why people do the mathematics? Why do humans do mathematics? Well why did people like may become mathematicians? We did so because we found it was fun and it is the challenge. It was always challenging. And we just like doing it. It is like climbing mountains or skiing or Anything you want to do you want to do well. It is a huge challenge to met the challenge.

Why do people payed to do it? Somehow I do it anywhere. I like doing it. Many people around the world are paid to do mathematics or to teach mathematics. So for the society point of view why do mathematicians get paid.


Well because mathematics has always been developed to do things in the world but it’s always been useful and continue to be useful. Because the thing we use mathematics for is to help understand the way to do things in the world. It is one of many ways to understand the world we live in. To the degree that we can do things in the world that we live in. And that’s been the case since going back to Archimedes, Newton, Leibnic, Pascal.

But how thas this work. How does mathematics help us understanding  the world. The man trying take this thing called mathematics which is developed over the millennia and specifically over several hundred years to solve problems in the world. And it reached a stage of incredible precision where there was a large amount of mathematics. Actually mathematicians and people in society lost sight to some  extend of what it was about. But because we are have problems  that we can’t solve  without mathematics we have to rethink how we use mathematics to solve problems need to be solved that cannot to be solved with the way we were doing mathematics before.

So let’s just see historically and procedurally how mathematics plays out in the world. You start with some real world situation something going on in the world. For example supposing you want to build a house or you wife want to build a house. You have some land to build a house so you you talk to your family.

Then you find someone who can build it for you. The first person you talk to is a architect. The architect will talk with you over several weeks find out what you want your house to look like, how you want to live in it, what things you want in the house, how big it is, how expensive, how much money you have.

And that architect will take your own description in human terms. The architect takes your description and converts it into a whole list of things that he or she will have to do to build a house. It’s the same that you have said except in a different language. It’s in the technical language of architecture which is a mixture of so bits of mathematics and trigonometry but also a lot of social science, community science stuff you know as well.

Then someone draw blueprints. Actualy trigonometry drawings with angles and measurement, specifications, charts, some spreadsheets next to. It turn it out into a mathematical description. And the blueprint is a mathematical description: the diagrams, the spreadsheets, the costings, the amount of timber, the amount of cement all of that stuff gets written down and calculated.

So now it’s gone from a human description to a technical description in terms of architecture to a technical description in terms of mathematics. So your houses now become a mathematical specification.

Your house has now become and some large matrix of numbers which are going to be followed. But it doesn’t  looks like house anymore. It  now looks like mathematics. And if the all was the well what you get is what you wanted.

And most people have no idea what was on the right. They don’t need to know. They just need to know that it works. That is how mathematics works all the time in every application.

The part on the right we use call it mathematical model.  When you took something in the world that you were expressing in mathematical language, and you start doing calculations, derivations with it your working in a mathematical model of the world. And mathematical models are usefull. Because it feedbacks to the world. This is why society wants people to do mathematics.Society don’t care what happens inside the box. Only the mathematicians care about what happens in the box. What society wants to know is it does the box do what that diagrams say it does. That’s triangle captures the way mathematics fits into the world we live.


I give an another example. Few years ago I worked a successful crime series on American television called Numbers. This is about how you can use mathematics to solve crime.

The idea of Numbers is that young, clever mathematician to help his F.B.I. brother solving the crime.The F.B.I. agents would get stumped, would find it difficult to solve crimes, would talk to his brother and the brother would coming and apply some mathematics to solve the crime. Every single episode follow this plot.

When series first appear the critics said this is not believable because the F.B.I. doesn’t use mathematics and that you can’t use mathematics to solve crime. They were absolutely wrong. The first few episodes were based on real cases. The F.B.I.  using mathematics for a long time.

So you don’t have to do things like building, which is clearly engineering, building a house full of engineer so you expect there is mathematics. But you could apply mathematics to people.

The F.B.I. agent comes in and checks the crime scene and translates in terms of police work.

Then he gets stuck off. He brings in his brother to do some mathematics. The brother translates the problem from police language to mathematical language. He then does some math. After the first few episodes they invented cases.  But the mathematics was always correct.

The very first episode was about a serial killer. It was based on a real case, the real guy Kim Rosmo that used real mathematics to capture serial killer. This is the actual equation what Kim Rosmo invent.He wrote  equation that allows you to identify where serial criminal most likely lives. You need 5-6 cases to get enough data.

You can apply this techniques of mathematics to people.

But here’s where the mathematics works and this goes back to Newton-Leibniz inventing calculus, to Kepler looking at the planetary motions, to Archimedes  looking a various problems way back then. This is how mathematics always were developed.  You identify some patterns in the world. Mathematics is science of patterns. It could be pattern in repetition in a serial criminal, it could be the patterns of the motion of the planets, it could be the pattern of traffic on the highway, it could be the patterns of sales on Amazon, it could be the pattern of the package ruting on Fed-Ex. All of these patterns you can capture them using mathematics.

If they’re regular patterns, if they’re patterns of repeats you can use mathematics on them. You almost certainly needs to use a notation. Or very often you have to invent a new notation it really will suit it’s up that pattern. You then use the notation,  take observations, you do some experiments, when you translate that the answers and the observations in some language so you can study more, then if you’re doing the whole thing you can start writing down assumptions or axioms. One of the first examples of this is geometry. You can look at patterns in the world and when you are apbstract them into a formal language you get the language of geometry.

Lines, triangles, circles etc. Then you can write axioms. What it is you are asuming. What are the basic principles of this things are following. And what you’ve done that you can actually start making some conclusion and you can get new knowledge about those patterns by using logical reasoning. And then you can actually start writing down methods, algiritms, equations, formulas so that other people don’t have to go through the process. They can just say my problem is write that problem over there. The people who looks at that problem develop this notation, they develop these conclusions, they develop these formulas. I can use those formulas in this new domain.

So now you’ve got something that other people can use. And if it proves successful it becomes part of mathematics. Newon and Leibniz invented calculus to make precise predictions about motions of planets in fact continuous motion in general. Once they done that generation after generation of university students in mathematics can learn calculus. Without having to go through all of that process. You just learn the rules, match the notation and you can apply to many domains.

So it’s really a competitive technology, the calculus is competitive technology. You can take it off the shelf, you can apply to a problem and they provide us answers. Very very efficient process. Just applied to the world. You now on position where you can generating new cycles you can keep generating new triangles that take you around.

This patch in the middle. That’s the specialist of that sort of in the mathematical models if you like. That is how we have axiomss. You have proves, you have procedures. That what we call mathematics. That’s what mathematics is like in mathematics department. The only people actually in the world who think of my mathematics in that way.

Universities get  the whole thing. They talk about axioms, proves, procedures.

About ten years ago the moment Steve Wolfram released WolframAlpha the world of mathematics changed.  Because WolframAlpha  which you can access free from your smartphone. It’s in the cloud. You can pay for  better version but it is in the cloud. That software system all done for you, all the procedures whatever. If you put Wolfram Alpha into your university exam it will get you a big plus. It’s a software system so it doesn’t always get you an A, especially if professor gives you a trick question.

Which means it’s now possible for people to use the whole cycle. Even if they don’t know how to do details of the mathematics. And the reason that is important is that means people whose expertise is not it mathematics but an application domain can use this process. Criminologist, sociologist, psychologist whatever all the experts could use this process on work their way through. And one they have to do some actual mathematics some formulas, some procedures it’s all available for free in the cloud.

That means the mathematics has just changed in the way to be done on the way is being done. Beyond WolframAlpha there’s a whole range of others tools  are available. So we now found machines to do all of the school and university procedures of mathematics.

So that’s change a lot. But let me give you an example. For the period about 1985 to 1990 one of the main researche  question was what is the information. That became important because computers have been networked. When Cisco Systems was created within six months  it have the highest market capital of any company in the world. So this was an enormous industry and yet there was no science of information. It was happening but we didn’t have a science to understand it.


And asking data is always dangerous. You need to understand what you doing. Otherwise you’ll end up in trouble. You might end up in the building things colled social networks which tend to be very powerful weapons when they are weaponized. Which meant the world was building information technologies and have no good definition of information.

Let see what people meant by information. But it turns out to the fourteenth century the word information that’s what it first appeared. It was actually about being smart, beinformed, be educated. Information as it was used was just to describe someone who used of.

Mid nineteenth century change because in the mid nineteenth century you get newspapers. Newspapers turned information forward description about people knowing things to talking about substances.

So information was a commodity of a certain size, weight, shape, form. It came into your house. And then you became informed.

So there was no longer referred to what was in the head of infomed persons. So now we have information as a commodity. That’s a very different notion.

Changed again in the mid twentieth century because when people were starting to connect computers together. These new technologies were simply taking newspapers and putting them online.

But the moment that change happened you were doing something different. Because once you start doing that  it’s no longer a quantity that you can measure etc etc

Information used to been something in someone’s head. So historically it’s about going on things going in your head.

So let’s call it something else. Let’s call that knowledge. We also have something called data. That’s the stuff that’s been shipped in the wires or in the newspapers.

Because this new notion of information isn’t in head and it’s not on the newspapers or in the wires. Somewhere between. So information lives between these two domains.

It’s something new. It didn’t really exist in human society before. Implicitly it did. But there was no need to be explicite.

How this thins are linked together? If you have data, if you add meanings to it, if you could interpreted it inside your head then you get information. If you consider the information and make it a variable to guide your activities we called it knowledge. And these are separate domains. The data is the same for everybody. Information derived from the data can vary from people to people. And the knowledge is something higher. Because information is in the middle. It’s a social construct. Knowledge is in the brain. Data is in the physical world.

The spies exchanging information. People don’t. They ask questions, they argue. You only talk about people actually exchange information if you want to draw attention to the fact that something weird is going on.

Serendipity (I will write about this)

We get information because we recognize the certain context. Ringing bells could be all kinds of things. Within our home with the door bells you know it means someone on the door. You can’t see the person you just hear ring the bell.

Dark clouds means it’s like it’s rain. Door bell rings means that somebody at the door. The traffic lights are red means you have to stop.

And then you can conclude something happen or something not happen.

The one I did with Duska Rosenberg about air trafic. We studz communications patterns. What we did was when we took our framework and climb to her data we were able to mine down a set of rules.

They could pinpoint where the criminal was. We could pinpoint where the problem was in the information flow.  The way I like to describe it is this : Information in the twenty first century is an ocean and you can just go beneath and no one will knows. You need some stepping stones. Mathematics provides the stepping stones. It’s not a bridge. It doesn’t get you into the answer. But it allows you to make precise statements  often enough that you don’t sink in the ocean. Enough huge. Because without mathematics you sink into the ocean. It is too much it.

Again this is just to give you a flavor. This is it. The is available you can get it from Amazon.

It was about engineers, the engineers records, understanding how engineers communicated, what was happening was when engineers repaired the systems, kept records and they were passed from one enginer to the next, then past to the company.

It turn out that things were going wrong because people miscommunicated this documents. That was kind of weird because the documents only have some very specific items of information. There were phone information that was about what the part number etc.

And company couldn’t understand why it’s didnt work because all of the information is in these documents. And yet all of these different parts of the company we’re looking at the documents. They were reading the documents in different ways.

Our task was to find out why this is of how this could improve. We actually spent a lot of time not looking at the documents but looking at air traffic controle.

After several months it turned out that there was no one kind of document even though it looked the said. There were three categories of documents. Suddenly ocean of documents was split into three categories of documents. We have a structure. We have a way to talk about it, way to descibe it, way to be precise about it,  and we were able to make conclusions and said : this is what you need to do to fix your problem. And the company did it.

I want to finish that but I’ll just mention the if you’re interested looking about on the book on the left is a technical detail. Or one of them right is a more technical.




Objavljeno pod Matematika | Označeno sa | Ostavite komentar

Smem li da brojim?

„Kad Pigmeji bacaju tako duge senke mora biti da je kasno uveče“ Đankarlo Rota (1932-)

U ovom članku su izabrani delovi knjige „Smem li da brojim“ Gintera Ciglera ( Gunter Ziegler 1963-) u izdanju Centra za promociju nauke, Matematički institut SANU, Beograd 2012 u prevodu Aleksandra Lipkovskog. Ginter Cigler je studirao matematiku u Minhenu i MIT, a u 31. godini je postao najmlađi profesor na Tehničkom univerzitetu u Berlinu.

Većina su citati iz knjige, ali neke delove sam menjao ili upućivao na ranije članke koji su vezani za temu kao Glava 9. o Pal Erdešu.

Glava 1. Na brojevnoj polupravoj

Od uzrečice pitagorejaca „Sve je broj“ posle par hiljada godina Richard Dedekind (1831-1916), stručnjak za teoriju brojeva  je došao do pitanja „Šta su i šta predstavljaju bojevi?“. U  svom delu iz 1888. godine „Was sind und was sollen die Zahlen? “ je ponudio aksiomatski pristup prirodnim brojevima.

Prosti brojevi su atomi aritmetike.

Hardijev taksi – 1729

Gedfrey Harold Hardy (1877-1947), britanski matematičar, stručnjak u oblasti teorije brojeva i matematičke analize. Jednom prilikom je posetio svog genijalnog indijskog kolegu Šrinivasa Ramanudžana (1887-1920) u bolnici i usput pomenuo da je stigao taksijem broj 1729 i da je to sasvim nezanimljiv broj. Ramanudžan je na to rekao da je broj 1729 izuzetan jer je to najmanji prirodan broj koji se na dva različita načina može zapisati kao zbir kubova 1729=13+123=93+103. Pri tom je 1729 broj koji liči na prost ali je deljiv sa 1+12=13 i 9+10=19.

Broj π 22/7 ili 355/113

Od 18. veka znamo da π nije racionalan. To je dokazao 1761. godine Johann Heinrich Lambert (1728-1777) švajcarski matematičar. Italijan Pjetro Mengoli je 1644. godine postavio pitanje da li se sabiranjem svih recipročnih vrednosti kvadrata prirodnih brojeva dobija konačan broj.

Pitanje je postalo poznato pod imenom Bazelski problem. Tek je Leonard Ojelr (1707-1783 takođe iz Bazela) koji je od 1733. bio profesor matematike u Sankt Petersburgu, kao naslednik Danijela Bernulija, posle desetogodišnjeg rada mogao 1735. godine da da tačan odgovor.

Da li se u decimalnom zapisu 3,1415926535 sve cifre i sve kombijacije cifara određene dužine pojavljuju u proseku jednako često? Pojavljuje se i kombinacija 999999 na Fejnmanovom mestu tj od 762. cifre.

א – na kraju brojevne poluprave?

Beskonačnost je veoma apstraktan koncept. Georg Kantor (Sankt Petersburg 1845-) otac šestoro dece i Teorije skupova. Od Kantora možemo naučiti kada su dva beskonačna skupa jednaka?

„Hilbertov hotel“ nosi ime svog pronalazača Davida Hilberta (1862-1943) koji ga je izmislio da bi ilustrovao Kantorove ideje.

Glava 2. Beskrajna priča o prostim brojevima

Još je Euklid dokazao da prostih brojeva ima beskonačno mnogo. Ako sa π(1000)=168 obeležimo broj prostih brojeva manjih od 1000, a sa  π(100)=25 broj prostih brojeva manjih od 100 onda je π(1000)- π(100)=168-25=143 broj prostih brojeva sa tačno tri cifre.

Petnaestogodišnji Karl Fridrih Gaus je 1793. godine postavio veoma preciznu hipotezu. Nezavisno od njega je 1789.godine do iste hipoteze došao Adrijen-Mari Ležandr (Adrien-Marie Legendre 1752-1833). Među brojevima sa najviše n cifara ima 1/nln10 deo prostih brojeva (ln10=2,302585…). Dakle među brojevima sa 10 cifara je približno svaki 23-i prost. U vreme kada su Ležandr i Gaus postavili ovu hipotezu ona je bila daleko van domašaja tadašnjih matematičkih metoda. Stotinu godina kasnije, nakon velikog napretka u  matematičkoj analizi i razvoja teorije kompleksnih funkcija i analitičke teorije brojeva, 1896. istovremeno su Francuz Žak Adamar i Belgijanac Šarl Žan de la Vale Pusen dokazali ovu hipotezu. Od tada ona nosi naziv Velika teorema o prostim brojevima.

Velika teorema o prostim brojevima je značajno dostignuće ali matematičari bi voleli da znaju koliko je tačna procena koju ona daje.  U Getingenu 1859. godine Berhard Riman je postavio Rimanovu hipotezu koja do danas nije dokazana. Još 1900.godine je bila na listi 23, a danas se nalazi na listi 7 najvažnijih matematičkih problema.

Brzorastući brojevni niz stepena dvojki je zanimljiviji ako mu se doda jedinica. Taj niz možemo opisati formulom Može da se primeti da članovi, sem prva dva, završavaju cifrom 7 i izgledaju prosti.

Pjer de Ferma (1607-1665) je postavio jednu od najvećih zagonetki koju zovemo Poslednja Fermaova teorema. On je tvrdio da su ovi brojevi prosti i za prvih 5 dokazao. Ali Leonard Ojler je kao 25-godišnjak u Sankt Petersburgu otkrio da šesti u nizu nije prost jer je deljiv sa 641. I vemenom se otkrilo da ne znamo nijedan drugi prost Fermaov broj. Prosti Fermaovi brojevi su povezani sa velikom zagoentkom geometrije: koje pravilne mnogouglove možemo konstruisati samo pomoću lenjira i šestara.

Karl Fridrih Gaus je dokazao da se pravilni mnogougao sa neparnim brojem strana n može konstruisati samo kada je n proizvod različitih Fermaovih prostih brojeva.

Među prostim brojevima odmah upadaju u oči parovi prostih brojeva između kojih je samo jedan broje, prosti blizanci: 3 i 5, 5 i 7, 11 i 13, 17 i 19, 29 i 31 itd. Da li to znači da prostih blizanaca ima beskonačno mnogo? Razmaci konstantne širine su nizovi prostih brojeva u kojima je sledeći od prethodnog uvek jednako udaljen. U matematici se takvi nizovi nazivaju aritmetički nizovi. Recimo 3,5,7 ili 5,11,17,23,29. Najduži za koji znamo se sastoji od 25 prostih brojeva. Da li ima dužih, ima li poizvoljno dugih aritmetičkih nizova prostih brojeva? Da ima dokazali su 2004. godine britanac Ben Grin i australijanac Terens Tao (koji je 2006. godine dobio Fildsovu medalju).

Kristijan Goldbah (1690-1764) je postavio jednu od najpoznatijih nerešenih problema Goldbahovu hipotezu. Goldbah je 1741.godine postavio pitanje Ojleru da li se svaki parni broj (osim 2) može predstaviti kao zbir dva prosta broja 4=2+2, 6=3+3, 8=3+5, 10=3+7, 12=5+7, 14=3+11, 16=5+11 itd.

Glava 3. Matematički pogled

Zadatak (7 razred napredni nivo): Na nekom kvizu takmičar je tražio pomoć publike i dobio odgovor da je 96% članova publike dalo tačan odgovor pod C. Koliko je najmanje članove publike moralo glasati da bi imali ovu procenu? Koliko najmanje članova publike mora glasati da bi imali tačno ovu procenu?

A ako je odgovor 99%.

Glava 4. Oprez formule

Glava 5. Male zagonetke

„Čime se ti u stvari baviš?“

Postoje značajni matematički problemi, važni i čuveni, za čija rešenja su ponuđene milionske nagrade:  Hilbertovi problemi iz 1900, milenijumski problemi iz 2000.

Savršeni monstrum

Savršeni brojevi su oni koji su jednaki zbiru svojih delilaca: 6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14, 496, 8128. Priča o savršenim brojevima se proteže od Ekulida do Ojlera. Kao i opažanje i dokaz da je broj oblika 2p-1·(2p-1) savršen pod uslovom da je (2p-1) prost broj (Mersenovi prosti brojevi). Mersenovi prosti brojevi 3, 7, 31 i 127 daju savršene brojeve 6, 28, 496, 8128.

Leonard Ojler je dokazao rezutat, obrnut Euklidovom: svaki paran savršen broj nastaje od Mersenovog prostog broja (2p-1) po receptu 2p-1·(2p-1). Drugih parnih savršenih brojeva nema. Do 2011. se znalo 47 Mersenovih prostih brojeva i prema tome 47 savršenih parnih brojeva. Nije dokazano da li Mersenovih prostih brojeva (time i parnih savršenih brojeva) ima beskonačno mnogo, ali nije dokazano.

Veću misteriju predstavljaju neparni savršeni brojevi. Da li uopšte postoje? O broju koji verovatno ne postoji znamo mnogo: da ima više od 300 cifara, ima njamanje osam različitih prostih delilaca, a ako 3 nije među njima onda najmanje 11, ima strukturu stepen prostog broja puta kvadratni broj (dokazao Ojler).

Velike zagonetke

U svetu matematike se stalno pronalaze i opisuju novi fascinantni objekti i otkrivaju novi fenomeni. Matematičari i kristalografi su se složili posle višedecenijskog rada da kristal može imati trostruku, četvorostruku ili šestostruku rotacionu simetriju, ali ne može imati petostruku. Ali su onda matematičari otkrili aperiodične strukture sa skrivenom petostrukom simetrijom – najpoznatiju je 1976. godine objavio Rodžer Penrouz. Kristalografi su 1982. godine u laboratoriji našli kristale metala sa petostrukom simetrijom. U junu 2009. godine dokazano je postojanje petostruke simetrije u kamenu koji je nađen u prirodi u planinama na poluostrvu Kamčatka.

Živimo u zlatnom vremenu matematičkog istraživanja. Tokom poslednjih 15 godina su rešeni neki značajni, dugo otvoreni problemi matematike.

1994. Fermaov problem iz 17. veka kaže da za n>2 ne postoji x,y,z elementi Z+ tako da je xn+yn=zn. Rešenje problema je dao 1994. godine Endrju Vajls iz drugog pokušaja u saradnji sa Ričardom Tejlorom. O ovom problemu je pisano u romanima Poslednja teorema Artura Č. Klarka i Frederika Pola iz 2008, Ujak Petros Dedakis, Prokletstvo Stiga Larsona iz 2008.

2002. Katalanova hipoteza kaže da, osim za 23=8 i 32=9, nema drugih stepena koji se razlikuju za jedan. Objavio je 1844. godine Ežen Šarl Katalan, a dokazao 2002. godine Preda Mihajlesku (1957-) sa Univerziteta u Paderbodnu.

2002. Poenkareova hipoteza i mnogo dalekosežnija hipoteza geometrizacije u potpunosti rešavaju pitanje zatvorenih tordimenzionalnih prostornih formi. Formulisao ju je 1904. godine Anri Poenkare (1854-1912), do hipoteze geometrijzacije proširio je 1980. Vilijem Terston (i 1982. dobio Fildsovu medalju). Rešio je Grigorije Pereljman na osnovu radova svog prethodnika Ričarda Hamiltona. Na kongresu matematičara 2006.godine je proglašeno da je problem rešen. Odbio je 2006.godine i Fildsovu medalju kao i milion dolara Klejove fondacije.

2012. Rimanovu hipotezu je postavio 1859. godine Bernhard Riman. 2012. godine Piter Sarnak na predavanju u Prinstonu na poslednjem dvočasu svojih predavanja „Analitička teorija brojeva II“ dokazuje ovu hipotezu. Osnov za saopštenje su beleške studentkinje Izabele Skoli.

2012. Indijac Nitin Saksena najavljuje rešenje problema teorije kompleksnosti algoritama P<>NP. Tu je reč o dokazu da postoje računski problemi čija rešenja se mogu lako i efektivno proveriti, ali za nalaženje rešenja nema i ne može biti brzog postupka. Kao primer Saksena koristi primer problem trgovačkog putnika. Postojanje brzog postupka za nalaženje rešenja zavisi od dodatnih osnovnh matematičkih predpostavki, koje se mogu prihvatiti ili ne. Konkretnije, Saksena dokazuje da je odgovor da ili ne u zavisnosti od toga da li prihvatamo ili ne hipotezu kontinuuma. Hipoteza kontinuuma kaže da ne postoji skup koji ima više elemenata od skupa prirodnih brojeva, ali manje od skupa realnih brojeva.

2013-2015. U rukopisu na 315 strana dato je rešenje Navije-Stoksovih jednačina (četvrti od sedam milenijumskih problema). Ove diferencijalne jednačine, poznate iz 19.veka, veoma su značajne: one opisuju strujanje vazduha i vode. One se u mnogim primenama rutinski rešavaju, na primer u vremenskoj prognozi, ili u virtuelnom aerodinamičkom tunelu prilikom optimizacije trkačkih automobila i aviona. Ali teorija rešenja ovih jednačina nije potpuna. Specijalno u trodimenzionalnom slučaju nije uopšte jasna egzistencija rešenja u opštem slučaju (onda kada rešenje nije glatko već ima vrtloge i turbulencije).

Glava  6. Gde nastaje matematika

U kafeu. Szkocka i Roma kafe u Lavovu, nekad u Polskoj, je bio mesto radnih sednica Štefana Banaha (1892-1945), Stanislava Ulama (1909-1984), Stanislava Mazura koje su doprinele topologiji i funkcionalnoj analizi. Reichsrat kafe u Beču je mesto gde je 1930.godine Kurt Gedel najavio svoju teoremu nepotpunosti bez koje danas savremena logika i teorija dokaza ne mogu.

U zatvoru. Žan-Viktor Ponsele (1788-1867) je stvorio projektivnu geometriju u ruskom zarobljeništvu: kao poručnik i inženjer učestvovao je u Napoleonovoj kampanji na Rusiju, posle bitke kod Smolenska 1812. godine ostavljen je kao mrtav na polju. Odatle je poslat u Saratov na Volgi i tek posle dve godine se vratio u Francusku.  Leopold Vijetoris (1891-2002) je kao dobrovoljac otišao u rat, u jesen 1914. ranjen, posle oporavka otišao kao vodič na Južni Tirol i pao u italijansko zarobljeništvo 1916.godine. Tako je završio započetu disertaciju Neprekidni skupovi.  Milutin Milanković (1879-1958)  je posle hapšenja u rodnom Dalju za vreme medenog meseca interniran u Budimpeštu gde je do kraja rata završio monografiju Matematička teorija termičkih fenomemna uzrokovanih sunčevim zračenjima koja je postala osnov njegove Teorije ledenih doba.

Glava 7. Knjiga dokaza

Najstariji pisani izvor koji se smatra umetnošću izvođenja dokaza su Euklidovi Elementi  napisani 352.godine pne.  Dokazi su nam potrebni (odgovor studentima tehnike) jer želimo i moramo da se pouzdamo da mostovi koje projektujete sigurno se neže ljuljati i da oblakoderi sigurno neće padati. Za razliku od pravnika matematičarima je dovoljan jedna ispavan dokaz. Više dokaza ne osigurava ni veću tačnost kao ni veću sigurnost.

Dokazivanje je kreativna, eksperimentalna, sportska i umetnička aktivnost koja se ne može isplanirati. Kada bi dokaz imao linearan tok matematika bi bila veoma dosadna, što ona svakako nije.

Glava 8. Tri legende

Sofija Kovaljevska (1850-1891) je kod Karla Vajerštrasa (1815-1897) u Berlinu uzimala časove i 1874-godine u Getingenu doktorirala jer u Berlinu to nije bilo moguće. Tako je postala prva žena s titulom doktora matematike u Evropsi, a kasnije i prva žena profesor univerziteta.  Na poziv Geste Mitag-Leflera (Vajerštrasovog učenika) 1882.godine prvi put dolazi u Stokholm. Postaje docent, a zatim i profesor. Krajem 1887. godine Sofija je upoznala Alfreda Nobela. Do danas opstaju glasine da Nobelove nagrade za matematiku nema jer je Sofija napustila Nobela zbog matematičara Geste Mitag-Leflera.

Kći pariskog trgovca Sofi Žermen (1776-1831) nije mogla stalno da studira, uzela je muški pseudonim da bi se 1804. godine dopisivala sa Gausom o svojim istraživanjima Teorije brojeva u vezi sa Fermaovim problemom. Gaus  se potrudio da Sofi Žermen dobije titulu počasnog doktora koju zbog smrti nije primila.

Aleksandar Grotendik (1928-) Otac ruski anarhista jevrejskog porekla, majka nemačka novinarka. Otac mu je 1942.godine umro u logoru Aušvic-Birkenau. Uprkos svemu uspeo je u Monpeljeu da završi srednju školu. U Parizu 1948.godine mu je mentor bio Andre Vej (član grupe Nikolas Burbaki), a zatim Loran Švarc u Nansiju (koji je 1950.godine dobio Fildsovu medalju za područje funkcionalne analize i Teoriju distribucije). Švarc mu je dao da pročita njegov rad koji završava sa 14 problema koje Švarc i njegov koautor Djedone (isto član grupe Burbaki) nisu uspeli da reše. U toku jedne nedelje Aleksandar je rešio pola, a u toku godine sve.  Rezultat je bio doktorska disertacija na 300 strana.  Posle ovoga se okrenuo kompleksnoj analiti, algebarskoj geometriji i homološkoj algebri. Postavio svoju verziju Riman-Rohove teoreme i prezentovao 1957.godine na radnom sastanku u Bonu.

Zaposlio se 1958.godine na Institutu za visoke naučne(IHES) studije u Parizu. Sa svojim višetomnim Elements de Geometrie Algebrique postavio je oblast algebarske geometrije na sasvim nove osnove, dodatno razjašnjene u Seminaire de Geometrie  Algebrique. Skraćenice EGA i SGA postale su temelji centralne oblasti savremene matematike. Zbog dela finansiranja IHES od strane ministarstva odbrane Grotendik je napustio svoj položaj, postepeno odustao od matematike, napustio porodicu (imao je petoro dece) i agresivno se okrenuo protiv starih prijatelja i kolega. Angažovao se u mirovnom, antiatomskom i ekološkom pokretu.

Glava 9. Kakvi su to ljudi

Pal Erdeš (1913-1996): putnik. Potiče iz jevrejske porodice u Budimpešti. Dve starije sestre su mu umrle 1913. godine tako da je on rastao kao zaštićeno i paženo dete bračnog para nastavnika i učio kod kuće. Politička previranja i zločini 20. veka su obeležili Erdešov život: Hortije režim u Mađarskoj, antisemitizam, II svetski rat, zatvaranje Istočnog bloka i Makartijev progon komunista. Erdeš je briljirao već sa 20 godina u Mađarskoj sa jednim novim, izuzetno elegantnim dokazom Bertranovog postulata, koji kaže da između nekog broja i dvostruko većeg broja od njega uvek postoji prost broj. 1949. godine Pal Erdeš i Norvežanin Atle Selberg su našli elementarni dokaz Velike teoreme o prostim brojevima bez primene diferencijalnog računa (na taj način je bila dokazana početkom veka). Selberg je objavio svoju verziju dokaza, pokupio veći deo slave i dobio Fildsovu medalju. Erdeš je napustio Prinston, više nije imao stalni posao, putova o, posećivao konferencije, bio gost svojih kolega i prijatelja. Jedine stalne tačke bile su stan njegove majke u Budimpešti do 1971.godine i gostinska soba njegovog prijatelja Rona Grejema u Nju Džersiju. Skoro neprekidno je bio na putovanju i uspeo da sa više od 500 koautora napiše preko 1500 radova. Odatle potiče termin Erdešov broj.

Tražio je ekstremalne konfiguracije i tako postao otac ekstremalne teorije grafova. Tražio je neizbežne obrasce u strukturama slučajnog izgleda i tako odlučujuće doprineo napretku Remzijeve teorije iz 1930.godine. Prepoznao je moć slučajnosti. To je dalo teoriju slučajnih grafova, koju je zajedno sa Alfredom Renjijem (1921-1970) od 1959.godine postavio na noge. Zasniva se na saznanju da slučajnost može da proizvede obrasce koje je veoma teško ili skoro nemoguće proizvesti kao konkretne planske konstrukcije.

Pitanje da li se u svakoj grupi ljudi može naći šestoro ljudi koji se svi međusobno poznaju ili se niko od njih šestoro međusobno ne poznaje. Remzijeva teorija kaže da se u svakoj dovoljno velikoj grupi može naći takva šestorka. Ali koliko dovoljno velika mora biti ta grupa ljudi? Induktivni dokaz Britanca Frenka Plamptona Remzija (Frank Plumpton Ramsey 1903-1930) daje sigurnost kod skupa od 252 ljudi.

Teorema o prijateljima i strancima, kao i graf prijateljstva su korišćeni u razvoju ideje o socijalnim mrežama, sačinjenim od uzajamnih veza među ljudima. Na značaj socijalnih mreža prvi je ukazao Anatol Rapaport, profesor na Univerzitetu u Čikagu, još 1951. godine, da bi njegov rad 1959. godine matematički opisali Paul Erdeš i Alfred Renji, ali je ideja o malom svetu širu popularnost u nauci stekla tek krajem XX veka.

Glava 10. Šta mogu matematičari

Pod nazivom matematika kriju se veoma različite teme: matematike kao školski predmet, matematika kao svakodnevno pomoćno sredstvo, matematika kao umetnički i kulturni uspeh, matematika kao neizbežna osnova prirodnih i tehničkih nauka i matematika kao polje istraživanja. To je već pet različitih matematika.

Rečenica „Matematika (kao predmet) je značajna“ je besmislena. Rečenica „matematika (kao pojam) je značajna“ je nesporna.

  1. Richard Courant, Herbert Robbins: What is mathemtics? An elementary approach to ideas and methods, London, Oxford University press, 1941
  2. Marcus du Sautoy: Muzika prostih brojeva,
  3. Paulo Ribenboim: The New Book of Prime Number Records, Springer, New York 1988, 3rd edition 1996
  4. Apostolos Doxiadis: Čika Petros i Goldbahova hipoteza, Plato 2003
  5. Timoti Gowers: Mathematics: A very short Introduction, Oxford University Press, Oxford 2002
  6. H.Hardy: A Mathematician’s Apology (Matematičareva odbrana), Cambridge University Press, 1940
  7. George Csicsery: N is a number. A portrait of Paul Erdos, Dokumentarfilm 2005, Springer
  8. Donald J. Albers: Mathematical people, Welleslay MA, 2008
Objavljeno pod Književnost, Matematika | Označeno sa , | Ostavite komentar

Edu-Arctic Forum Edukatora

„Ono što se desi na Arktiku, ne ostaje na Arktiku.“

EDU-ARCTIC je EU projekat fokusiran na korišćenje istraživanja Arktika kao sredstva za jačanje nastavnog plana i programa naučnog obrazovanja širom Evrope. Ima za cilja da ohrabri učenike od 13 do 20 godina (secondary school) da nastave dalje obrazovanje u nauci, tehnologiji, inženjerstvu i matematici (STEM- science, technology, engineering and mathematics).

EDU-ARCTIC projekat koristi različite alate da osveži pristup STEM predmetima, uključujući onlajn časove sa naučnicima sa polova, program nadgledanja životne sredine – građansku nauku (“citizen science”), treninge i radionice za nastavnike, onlajn “Polarpedia” portal kao i šansu da učenici osvoje put do istraživačke stanice na Arktiku.

U koviru ovog projekta u Varšavi je 22-24. septembra održan Edu-Arctic Educators Forum  koji je okupio 30 nastavnika iz 17 zemalja Evrope.  Radionicu su odlično vodile Agata Gozdzik i Anna Wielgopolan. Iz Srbije su bila četiri nastavnika na ovoj radionici: Nada Stojičević, Slađana Jović, Bojana Mitriceski-Anđelković i ja.

Jedna od direktnih posledica ove radionice je i moj prevod na srpski jezik prvih članaka na “Polarpedii”. Naravno izabrao sam Svemir za početak.

Prvog dana su učesnici imali prilike da organizovano posete Kopernikus naučni centar. Zbog kašnjenja aviona (LOT dva puta) nisam imao priliku da vidim ovaj centar ali kolege su prenele divne utiske o interaktivnim postavkama. Na primer na ulazu možete da stanete na određeno mesto, svojom težinom zategnete zakačenu žicu i čujete koji zvuk proizvodi težina vašeg tela.

Anna Nadolna, istraživač sa Hornsund (Svalbard) poljske polarne stanice je preko Skajpa upoznala nas sa svakodnevnim životom na stanici. Na stanici ima dosta tehničkog i fizičkog posla van onog istraživaćkog i naučnog. I vrlo bitna stvar. Kada odete tamo i predomislite se nije se baš lako vratiti nazad. Na stanici su tri metereologa, tri posmatrača životne sredine, geofizičar, IT ekspert, konzervator i mehaničar. Interesanto je njihovo posmatranje kolonije letećih pingvina-malih alka (little auk) i njihovo poređenje sa južnim rođacima -pingvinima.

Takođe smo pričali i sa Lis Mortensen, fizičkim geografom iz Finske koja se javila sa istraživačke stanice sa Farskih ostrva.

Od kolega smo mogli da čujemo kako koriste Edu-Arctic platformu, bilo je sjajnih iskustava koje su nam preneli. Na ovakvim skupovima vidite koliko ima nastavnika koji puno i izvanredno rade na insterdisciplinarnom pristupu nastavi.

Popodne smo imali par aktivnosti. Okrugle stolove na temu Edu-Arctic alata, mogućnosit za poboljšanje, povratnim informacija od nastavnika. Praktičan trening sa Edu-Arctic portalom, praktične aktivnosti, učešće na vebinarima.

Noć smo iskoristili da malo istražimo Varšavu.

U nedelju pre podne smo imali dva odlična predavanja.

Prof Dr Marek Lewandovski je predstavio „Vremensku kapsulu“ projekat koji je obeležio 60 godina poljske polarne istraživačke stanice Hornsund. U hromirani cilindar hronološkim redom su poređani razni artefakti o civilizaciji, prirodnom okruženju i tehnološkom razvoju. Kapsula sadrži pet manjih kontejnera koju su razdvojeni magnetnim jastucima. Svaki kontejner sadrži poruku sa drugom temom: geologija, okruženje, biologija, tehnologija kao i predmeti iz svakodnevnog života.  Cilindar je onda zakopan u zemlju na istraživačkoj stanici Hornsund. On procenjuje da će se kapsula pojaviti na površini za nekih pola miliona godina kao rezultat erozije. On očekuje da će kapsulu neko naći. Možda Zemljani, možda neki drugi posetioci.

Prof Dr Piotr Glowacki je održao predavanje na temu „Misterija unutrašnjosti glečera„. Predstavio nam je mnoga istraživanja koja je on sa kolegama sproveo u istraživanju glečerskih pećina. Razlike između običnih i ovih pećina:

  • možda ćete se vratiti na površinu, a možda ne pošto se glečer kreće
  • glečerska pećina propušta radio talase
  • obične pećine se prave hiljadama godina, glečerske pećine nastaju za jednu sezonu
  • glečerske pećine su dobro mesto za isprobavanje NASA vozila-rovera

Na ovakvim skupovima je dobro biti iz mnogo razloga ali jedan je uvek primaran: upoznate izvanredne kolege sa kojima možete kasniije da sarađujete, učite od njih i oni od vas, razmenjujete primere i iskustva, nađete sebi slične.

Naravno da uvek naučite nešto novo ili već naučeno vidite iz druge perspektive.

Na ovoj radionici na sve na je veliki utisak ostavila AR/VR Sand Box  sa kojoj smo se igrali poput dece (Kutija sa peskom za povećanu stvarnost/virtuelnu realnost). To je kutija sa peskom u kombinaciji sa 3D vizuelnom aplikacijom. Jednostavno rukom mešate pesak i pejzaž od peska oživi. Pesak se uvećava u stvarnom vremenu sa kartom nadmorske visine u boji, topografskim konturnim linija. Ima veoma malo ovakvih praktičnih sredstava za učenje. Ako se ne varam u Srbiji postoji samo jedan koji može da se vidi tokom Festivala nauke. Razlog je jednostavan. Cena ove „kutije“.

Neki od sledećih članaka se nadam da će biti o ostvarenju ove ideje u kućnoj-školskoj radinosti. Teorijski deluje teško (Linux operativni sistem + tri softvera koji pokreću senzor, rastojanje od senzora i projektora do peska) ali izvodljivo. Skoro sve delove imam (računar, kutija, pesak, kinekt senzor, video projektor) kao i entuzijazam i znanje. Ako neko uspe da napravi ranije neka javi.


Objavljeno pod Obrazovanje, Portfolio | Označeno sa , , | Ostavite komentar

Astro zanimanja

Koristeći materijale sa Space Awareness  platforme uradili smo nekoliko aktivnosti na promociji svemirske nauke i podizanju nivoa svesti kod učenika u vezi sa astronomijom, svemirskom naukom i znanjima potrebnim da bi se neko bavio poslovima koji su u vezi sa svemirskim istraživanjima.

Kao deo aktivnosti  napravili smo igru memorije za upoznavanje učenika sa poslovima koji su povezani sa istraživanjima u svemiru. Učenici podeljni po grupama su se takmičili ko će brže povezati zanimanja na engleskom sa prevodom na srpski prevo. Ovde je dolazio do izražaja grupni rad učenika i angažovanost svih u grupi.

Ove aktivnosti smo proveli samostalno na redovnim časovima, kao i u saradnji sa OŠ Vladimira Becića iz Osijeka u okviru eTwinning projekta „Kako se snaći na Marsu„.

Učenici su podeljeni u grupe po 4-5, izabrali su papir na kom je bilo opisano jedno zanimanje u vezi sa svemirskim istraživanjima (koje veštine i sposobnosti zahteva taj posao, šta taj osoba radi). Učenici su čitali tekst na engleskom i prevodili ga na maternji jezik.

Na delu sajtu Space Awareness za karijere smo čitali detaljnije o tim zanimanjima, gledali intervjue sa osobama koje rade taj posao.

Zatim smo se takmičili po grupama tako što je jedna grupa odgovarala na pitanja koja su postavljale druge grupe. Svaka grupa je imala pravo na dva pitanja. Posle toga svaka grupa je trebala da napiše šta misli koje zanimanje je u pitanju.

Kao i svaka aktivnost koja je malo „pomerena“ van klasičnog školskog časa i ovde je bila veoma povećana angažovanost, uključenje i motivacija svih učenika.

Objavljeno pod Astronomija | Označeno sa , , , | Ostavite komentar

World Space Week 2017

Ove godine Svetska nedelja svemira (World Space Week) je imala za temu Istraživanje novih svetova u Svemiru “Exploring New Worlds in Space” . Ovo je četvrta godina za redom da u Kikindi grupa nastavnika okupljenih u udruženju „OKSI“ obeležava Svetsku nedelju svemira. Kao deo popularizacije astronomije održano je predavanje „Kako se snaći na Marsu“  u OŠ Sveti Sava Kikinda.

Posle predavanja smo imali posmatranje Meseca i Saturna sa tri teleskopa koje su doneli zaljubeljnici u astronomiku Tibi, Jovan i Dragan. Imali smo prilike da sa VR naočarima posmatramo kako izgleda Sunčev siste kroz aplikaciju Titan of space kao i da se virtuelno slikamo sa nekim od satelita i rovera kroz aplikaciju Spacekraft 3D. Naravno Curiosity je bio najčešće biran rover za slikanje.

Bilo je prisutno 70-80 učenika i nastavnika iz OŠ Sveti Sava sa nastavnikom Danilom Borovnicom, OŠ Jovan Popović sa nastavnicama Jelenom Vukobrat i Jelenom Vulić, OŠ Feješ Klara sa nastavnicom Vesnom Kralj-Damjanov i učenici Gimnazije sa nastavnikom Draganom Ivetićem.

Učesnici su mogli je da „kupe“ kartu za let za Mars čije poletanje je zakazano za 5.maj 2018. godine.  Kao deo Nasa istraživačkog programa tog dana će biti lansiran InSight satelit  čiji je ciljl da postavi geofizički lender na Mars radi istraživanja unutrašnjosti.

U okviru Svetske nedelje svemira je i eTwinning projekat između OŠ Sveti Sava Kikinda i OŠ Vladimira Becića Osijek. Kao deo aktivnosti vezanih za Svetsku nedelju svemira, eTwinning i Space Awareness napravili smo igru za upoznavanje učenika sa poslovima koji su povezani sa istraživanjima u svemiru.

Objavljeno pod Astronomija | Označeno sa , | Ostavite komentar